Vecteurs, droites et plans de l’espace
1- Vecteurs de l’espace :
a- Translation :
Définition :
Soit 
un vecteur de l’espace.
est l’image de 
par la translation du vecteur signifie que 
.
Remarques :
- On étend à l’espace la notion de vecteur étudiée en géométrie plane.
- La translation de vecteur
associe à tout point 
l’unique point 
tel que 
et 
ont même milieu. - Si
et 
les images respectives de et par une translation 
du vecteur dans l’espace alors on a 
.
Conséquence :
- La translation conserve les distances c’est-à-dire si et sont les images respectives de et par une translation du vecteur dans l’espace alors
.
Voir les exercices d’application sur le site kiffelesmaths.com
b- Vecteurs colinéaires, vecteurs coplanaires.
Définition 1:
Soient et 
deux vecteurs de l’espace. et sont colinéaires lorsqu’il existe un nombre réel 
tel que 
.
Remarques :
- On étend à l’espace la notion de vecteur étudiée en géométrie plane.
- La translation de vecteur associe à tout point l’unique point tel que et ont même milieu.
- Si et les images respectives de et par une translation du vecteur dans l’espace alors on a .
Propriétés :
Soient , et 
trois points de l’espace deux à deux distincts.
Les points , et sont alignés si, et seulement si, les vecteurs et sont
colinéaires, c’est-à-dire s’il existe un réel 
non nul tel que 
.
Définition 2:
On considère quatre points distincts de l’espace , , et 
et soit , et 
trois vecteurs définis par 
, 
et 
.
On dit que , et sont coplanaires lorsque les points , , et appartiennent à un même plan. (c’est-à-dire , , et sont coplanaires).
Remarque :
- Le vecteur nul est toujours coplanaire à deux autres vecteurs quelconques
Propriété :
Soient , et trois vecteurs non nuls de l’espace tels que et ne sont pas
colinéaires.
Les vecteurs , et sont coplanaires si, et seulement si, il existe deux nombres réels 
et 
tels que 
et on dit que est une combinaison linéaire de et .
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c- Vecteurs linéairement indépendants et base de l’espace.
Définition 1 :
, et trois vecteurs de l’espace et , et 
trois réels.
On dit que , et sont linéairement indépendants lorsqu’ils ne sont pas
coplanaires, autrement dit lorsque 
.
Remarque :
Deux vecteurs non colinéaires sont linéairement indépendants.
Définition 2 :
Trois vecteurs linéairement indépendants forment une base de l’espace.
Notation :
La base formée par trois vecteurs 
, 
et 
linéairement indépendants est noté 
.
Propriété :
Soit une base de l’espace.
Pour chaque vecteur de l’espace il existe un unique triplet de réels 
tel que 
. Et on note 
ou bien 
.
Exercice d’application :
Soit 
un cube. “voir image”
i. Quel est l’image de par la translation du vecteur 
? justifier.
ii. Est-ce que les vecteurs 
, 
et 
sont coplanaires ? justifier.
iii. Déterminer le triplet 
tel que 
.
Correction :
i. 
est un carré alors 
, donc l’image de par la translation du vecteur est 
.
ii. 
donc , et sont coplanaires.
iii. 
.
iv. donc 
est le triplet associer au vecteur 
dans la base 
de l’espace.
2- Droites et plans de l’espace.
a- Droites de l’espace.
Définition 1 :
Soient un point et un vecteur non nul de l’espace.
L’ensemble des points de l’espace tels que 
avec 
, est une droite dirigée par le vecteur.
est un repère de cette droite.
est un vecteur directeur de la droite.
est un vecteur directeur de la droite.
Définition 2 :
On dit que deux droites sont coplanaires, si elles appartiennent à un même plan.
Deux droites coplanaires peuvent être sécantes (avoir un point d’intersection) ou parallèles (strictement parallèles ou confondues).
Propriété :
Toutes les propriétés de la géométrie plane restent valables dans tout plan de l’espace, c’est-à-dire « lorsque les droites sont coplanaires, on retrouve les résultats obtenus en géométrie plane ».
Exemples
Soit un cube.
et 
sont sécantes donc sont coplanaires.
et 
sont parallèles donc sont coplanaires.- et
ne sont pas sécantes ni parallèles donc sont non coplanaires. 
et 
sont sécantes donc sont coplanaires.
b- Plans de l’espace.
Définition 1 :
Soient un point de l’espace et et deux vecteurs non colinéaires de l’espace. L’ensemble des points tels que 
(avec 
) est un plan de l’espace dirigé par la base 
.
est un repère du plan.
La direction du plan est .
Position relative de deux plans :
Soient 
et 
deux plans dans l’espace, on a trois cas possibles :
Position relative d’un plan et une droite :
Soient un plan et 
une droite dans l’espace, on a trois cas possibles :
Remarque :
Trois points non alignés définissent un plan unique.
Exemples :
Soit un cube. “voir image”
- La droite
coupe le plan 
en . - La droite est inclus dans le plan
. - La droite
est parallèle au plan 
. - Les deux plans et sont strictement parallèles.
- Les deux plans
et sont sécantes en . - Les deux plans et
sont confondus. (en fait c’est le même plan).
c- Parallélisme dans l’espace.
Théorème 1 :
Une droite est parallèle à un plan si, et seulement si, il existe une droite 
du plan parallèle à .
C’est-à-dire : Si 
alors 
Théorème 2 :
Un plan 
est parallèle à un plan 
si, et seulement si, il existe deux droites sécantes de parallèles à deux droites sécantes de .
Exemple :
Soient 
et 
deux droites sécantes dans le plan ;
et 
et 
deux droites sécantes dans le plan .
Si 
alors 
Exercice d’application :
Soit 
une pyramide 
, 
et 
les milieux de 
, 
et 
successivement.
Montrer que 
.
Correction :
On a 
et 
deux droites sécantes dans le plan 
et 
et 
deux droites sécantes dans le plan 
et puisque 
donc 
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Théorème 3 :
Si deux plans sont parallèles, tout plan qui coupe l’un, coupe l’autre et les droites d’intersection sont parallèles.
donc 
Théorème 4 (Théorème du toit) (admis) :
Si deux plans sécants contiennent respectivement deux droites strictement parallèles, alors leur intersection est une droite parallèle aux premières.
Dans cet exemple si 
alors 
est parallèle avec et .
3- Repère de l’espace.
a- Coordonnées d’un point de l’espace.
Définition 1 :
Un repère de l’espace est défini par la donnée d’un point 
de l’espace et d’une base 
de l’espace.
Notation :
Le repère défini par le point et la base est noté 
.
Définition 2 :
Soit un repère.
Pour tout point de l’espace, il existe un unique triplet de 
, tel que 
.
, 
et 
sont les coordonnées de dans le repère . est appelé abscisse de , l’ordonnée et la cote.
Exemple :
Soit 
un cube et le milieu de 
.
Déterminons les coordonnées de 
dans le repère 
.
On a 
(relation de Chasles).
alors 
( 
car 
est un carré)
(
car 
est un carré)
(
car 
est un carré)
Donc les coordonnées de dans le repère sont 
.
C’est-à-dire 
.
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b- Opérations sur les coordonnées
L’espace est rapporté à un repère 
.
Propriétés :
Soit 
, 
et trois points de l’espace tels que 
, 
et le milieu de 
, on a :
- Les coordonnées du vecteur sont
est on écrit 
- Les coordonnées du point sont
est on écrit .
Exemple :
Si 
et 
alors 
soit 
.
Si 
est le milieu de 
alors 
soit 
.
c- Représentation paramétrique d’une droite
L’espace est rapporté à un repère .
Propriété :
Soit une droite telles que 
et 
un vecteur directeur de .
signifie qu’il existe un réel 
tel que 
.
Le système 
est une représentation paramétrique de la droite .
Remarque :
Il existe une infinité de représentations paramétriques d’une droite.
Application :
Soit et ,
Déterminer la représentation paramétrique d droite
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