Suites et récurrence – Bilan
Niveau de cet exercice : 
Énoncé
Soient 
et 
deux suites numériques e, définies pour tout entier 
par : 
et 
.
1- Exprimer 
en fonction de 
puis calculer 
.
2- Montrer que 
pour tout entier .
Correction
1-
2-
donc 
(1)
pour on a 
et 
d’ou 
donc 
(2)
d’après (1) et (2) on en déduit que .
Niveau de cet exercice : 
Énoncé
Soient et deux suites telles que 
, et pour tout entier n,
et 
.
1- a- Montrer que : 
pour tout entier n. (Par récurrence)
1-b- Montrer que est décroissante.
1-c- Déduire que est convergente.
2-a- Montrer que est une suite géométrique et préciser sa raison ainsi que son premier terme.
2-b- Exprimer en fonction de n et déduire en fonction de n.
2-c- Calculer la limite de (Vn).
3- On pose : 
3-a- Montrer que : 
.
3-b- Exprimer 
en fonction de n puis calculer la limite de .
Correction
1-a- On va démontrer que pour tout entier naturel n, on a : .
Pour n=0 on donc 
.
Supposons que pour un un entier naturel k on a 
.
Démontrons que 
,
On a alors 
alors 
alors 
alors 
soit
d’après le principe de récurrence, pour tout entier naturel n.
1-b- démontrons que 
est décroissante :
alors 
, 
et 
donc 
c’est-à-dire 
finalement on en déduit que est décroissante.
1-c-
Puisque est une suite croissante et majorée par 2 donc (Un) converge.
2-a-
donc est une suite géométrique de raison 
le premier terme de cette suite est : 
2-b- (Un) et (Vn) en fonction de n.
est une suite géométrique de raison
alors 
et puisque alors 
donc 
2-c-
3- a-
3-b
.
.
