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Le raisonnement par récurrence – Méthodes et Exercices

Niveau de cet exercice : 3

Énoncé

Montrer que

Correction


Niveau de cet exercice : 3

Énoncé

Montrer que est divisible par 6.

Correction


Niveau de cet exercice : 3

Énoncé

Inégalité de Bernoulli

, Démontrer que

Correction


Niveau de cet exercice : 3

Énoncé

,

Démontrer que est décroissante.

Correction


Niveau de cet exercice : 3

Énoncé

Démontrer que est majorée par 3.

Correction


Niveau de cet exercice : 3

Énoncé

Démontrer que

Correction


Niveau de cet exercice : 2

Énoncé

Démontrer que est un multiple de 8.

Correction


Niveau de cet exercice : 3

Énoncé

Démontrer que .

Correction


Niveau de cet exercice : 3

Énoncé

Montrer que

Correction


Niveau de cet exercice : 3

Énoncé

Montrer que est un multiple de 7.

 

Correction

(le premier élément de est )

Pour on a   donc est un multiple de 7.  (la proposition est vraie pour )

On suppose que est multiple de 7 pour un élément , il existe donc un entier tel que .

Montrons que est un multiple de 7. (c’est à dire la proposition est vraie pour k+1)

Or, par hypothèse de récurrence,

Ainsi ,

tel que est un entier en tant que produits et somme des entiers naturels.

donc est un multiple de 7 (la proposition est vraie pour n=k+1)

Finalement, par le principe de récurrence, on en déduit que est un multiple de 7.


Niveau de cet exercice : 4

Énoncé

Pour tout entier naturel , on note la fonction définie sur par

Démontrer que pour tout entier naturel , la fonction est dérivable sur , et pour tout réel ,

Correction


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