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Chapitre 1: Apprendre à démontrer. Les différents raisonnements.

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Apprendre à démontrer – Bilan

Chapitre 1: Apprendre à démontrer. Les différents raisonnements. Apprendre à démontrer – Bilan

Niveau de cet exercice : 2

Énoncé

Soient les deux propositions : 

P : ABCD est un rectangle     et   Q : ABCD est un parallélogramme.

Dire est-ce que les propositions ci-dessous sont vraie ou fausse

Correction

  •   : Vraie
  •   : Fausse
  •   : Fausse 

Niveau de cet exercice : 2

Énoncé

Soient les deux propositions : 

  1. est un triangle rectangle en     et  .

Dire est-ce que les propositions ci-dessous sont vraie ou fausse

Correction

  1. Vraie.
  2. Vraie.
  3. Vraie.

Niveau de cet exercice : 2

Énoncé

est une fonction définie sur , 

Traduire en termes de quantificateurs les expressions suivantes :

  1. est paire.
  2. est croissante.
  3. est majorée par .
  4. est bornée.

Correction

  1. .

Niveau de cet exercice : 2

Énoncé

Répondre par vraie ou fausse

  1. La réciproque de l’implication est l’implication
  2. La réciproque de l’implication est l’implication
  3. La contraposée de l’implication est l’implication
  4. La contraposée de l’implication est l’implication

Correction

  1. Vraie.
  2. Fausse.
  3. Fausse.
  4. Vraie.
  5. Fausse.
  6. Vraie.

Niveau de cet exercice : 2

Énoncé

Compléter les pointillés par le connecteur logique qui s’impose : ou

  3. est un triangle rectangle en   …..

Correction

  3. est un triangle rectangle en

Niveau de cet exercice :

Énoncé

Ecrire es propositions suivantes avec les quantificateurs :

  1. Tout entier naturel est positif.
  2. L’équation admet une solution réel.
  3. La fonction admet une solution unique dans l’intervalle .
  4. La fonction   n’a pas de solution dans .

Correction

Niveau de cet exercice : 2

Énoncé

Résoudre dans les équations : 

Correction

1- (équivalence)

donc les solutions de l’équation sont et

2- (disjonction de cas)

  • si on a , ce qui est impossible, alors l’équation n’a pas de solutions dans
  • si on a , alors la solution de l’équation est

3- (disjonction de cas)

  • si l’équation na pas de solution réel.
  • si l’équation admet ne seule solution réel égale à
  • si l’équation admet deux solutions réels:

Niveau de cet exercice : 2

Énoncé

Soit , Montrer que

Correction

(L’absurde) 

Supposons que

or

ce qui est absurde avec

donc

 

Niveau de cet exercice :

Énoncé

 Ecrire les contraposées des implications suivantes :

  1. premier ou est impair.
  2. et

Correction

1- La contraposée de “ premier ou est impair” est 

” est pair non premier”

2- La contraposée de “ et ” est 

““

3- La contraposée de “” est

“” 

Niveau de cet exercice : 3

Énoncé

Montrer que

Correction

(Contraposée)

Pour montrer que il suffit de montrer que

Or

donc par contraposée on, en déduit que :

Niveau de cet exercice :

Énoncé

Soit la suite définie par

Montrer que

Correction

Montrons par récurrence

Soit l’hypothèse de récurrence :

  • La proposition est vraie car
  • Soit supposons vraie et montrons que est vraie.


Par hypothèse de récurrence donc

alors  

Donc est vraie.
et par récurrence on, en déduit que

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